Nurga kraadimõõt. Nurga radiaanmõõt. Teisendage kraadid radiaanideks ja vastupidi.

Tähelepanu!
On täiendavaid
materjal erijaos 555.
Neile, kes tugevalt "mitte väga..."
Ja neile, kes "väga...")

Eelmises tunnis õppisime trigonomeetrilisel ringil nurkade lugemist. Õppis positiivseid ja negatiivseid nurki lugema. Sai aru, kuidas joonistada nurka, mis on suurem kui 360 kraadi. On aeg tegeleda nurkade mõõtmisega. Eriti numbriga "Pi", mis püüab meid keerulistes ülesannetes segadusse ajada, jah ...

Standardsed ülesanded trigonomeetrias numbriga "Pi" on üsna hästi lahendatud. Visuaalne mälu aitab. Kuid iga kõrvalekaldumine mallist - lööb kohapeal maha! Et mitte kukkuda - aru saada vajalik. Mida me nüüd edukalt teeme. Mõnes mõttes – me saame kõigest aru!

Niisiis, mida kas nurgad loevad? Trigonomeetria koolikursuses kasutatakse kahte mõõdikut: nurga mõõt ja nurga radiaanmõõt. Vaatame neid meetmeid. Ilma selleta pole trigonomeetrias mitte kusagil.

Nurga kraadimõõt.

Oleme kraadidega kuidagi harjunud. Geomeetria läbis vähemalt ... Jah, ja elus kohtame sageli näiteks fraasi "pööratud 180 kraadi". Kraad, lühidalt, lihtne asi ...

Jah? Vasta mulle siis mis on kraad? Mis kohe ei tööta? Midagi...

Kraadid leiutati iidses Babülonis. See oli kaua aega tagasi ... 40 sajandit tagasi ... Ja nad lihtsalt mõtlesid selle välja. Nad võtsid ja purustasid ringi 360 võrdseks osaks. 1 kraad on 1/360 ringist. Ja see ongi kõik. Saab jagada 100 tükiks. Või 1000 võrra. Aga nad murdsid selle 360 ​​peale. Muide, miks just 360 võrra? Miks on 360 parem kui 100? 100 tundub kuidagi ühtlasem olevat... Proovi sellele küsimusele vastata. Või nõrk Vana-Babüloni vastu?

Kusagil samal ajal, Vana-Egiptuses, piinas neid teine ​​teema. Mitu korda on ringi ümbermõõt suurem selle läbimõõdu pikkusest? Ja nii nad mõõtsid, ja nii ... Kõik osutus natuke rohkem kui kolm. Kuid kuidagi sai see karvas, ebaühtlane ... Aga nemad, egiptlased, pole selles süüdi. Pärast neid kannatasid nad veel 35 sajandit. Kuni nad lõpuks tõestasid, et ükskõik kui peeneks lõigatud ring võrdseteks tükkideks, sellistest tükkidest teha sile läbimõõdu pikkus on võimatu ... Põhimõtteliselt on see võimatu. Noh, mitu korda on ümbermõõt muidugi suurem kui läbimõõt. Umbes. 3,1415926... korda.

See on number "Pi". See on karvas, nii karvas. Pärast koma – lõpmatu arv numbreid ilma igasuguse järjekorrata... Selliseid numbreid nimetatakse irratsionaalseteks. See, muide, tähendab, et ringi võrdsetest tükkidest läbimõõt sileära voldi. Mitte kunagi.

Praktiliseks kasutamiseks on tavaks jätta meelde ainult kaks kohta pärast koma. Pidage meeles:

Kuna oleme aru saanud, et ringi ümbermõõt on "Pi" korda suurem kui läbimõõt, on mõttekas meeles pidada ringi ümbermõõdu valem:

Kus L on ümbermõõt ja d on selle läbimõõt.

Kasulik geomeetrias.

Üldhariduse jaoks lisan, et arv "Pi" ei istu mitte ainult geomeetrias ... Matemaatika erinevates osades ja eriti tõenäosusteoorias ilmub see arv pidevalt! Iseenesest. Väljaspool meie soove. Nagu nii.

Aga tagasi kraadide juurde. Kas olete aru saanud, miks muistses Babülonis jagati ring 360 võrdseks osaks? Aga mitte näiteks 100? Mitte? OKEI. Ma annan teile versiooni. Vanadelt babüloonlastelt ei saa ju küsida... Ehituse või, ütleme, astronoomia jaoks on mugav ring jagada võrdseteks osadeks. Nüüd mõelge välja, milliste arvudega jaguvad täielikult 100 ja millised - 360? Ja millises versioonis need jagajad täielikult- rohkem? See jaotus on inimestele väga mugav. Aga...

Nagu selgus palju hiljem kui Vana-Babülonis, ei meeldi kõigile kraadid. Kõrgemale matemaatikale need ei meeldi... Kõrgem matemaatika on tõsine daam, loodusseaduste järgi korraldatud. Ja see daam teatab: "Täna lõhkusite ringi 360 osaks, homme jagate selle 100 osaks, ülehomme 245 osaks ... Ja mida ma peaksin tegema? Ei tõesti ..." Ma pidin kuuletuma. Loodust lollitada ei saa...

Pidin kasutusele võtma nurga mõõtmise, mis ei sõltu inimeste arusaamadest. Saage tuttavaks - radiaan!

Nurga radiaanmõõt.

Mis on radiaan? Radiaani definitsioon põhineb nagunii ringil. 1 radiaani nurk on nurk, mis lõikab kaare ringist, mille pikkus on ( L) on võrdne raadiuse pikkusega ( R). Vaatame pilte.

Nii väike nurk, seda pole peaaegu üldse ... Liigutame kursori pildi kohale (või puudutame tahvelarvutis pilti) ja näeme umbes ühte radiaan. L=R

Kas tunnete erinevust?

Üks radiaan on palju suurem kui üks kraad. Kui mitu korda?

Vaatame järgmist pilti. Millele joonistasin poolringi. Laiendatud nurk on loomulikult 180 ° suurune.

Ja nüüd lõikan selle poolringi radiaanideks! Hõljutame kursorit pildi kohal ja näeme, et 3 radiaani koos sabaga mahub 180 °.

Kes oskab arvata, mis see hobusesaba on!?

Jah! See saba on 0,1415926... Tere Pi, me pole sind veel unustanud!

Tõepoolest, 180 kraadis on 3,1415926 ... radiaani. Nagu võite ette kujutada, on kogu aeg 3.1415926 kirjutamine... ebamugav. Seetõttu kirjutavad nad selle lõpmatu arvu asemel alati lihtsalt:

Ja siin on number Internetis

on ebamugav kirjutada ... Seetõttu kirjutan tekstis selle nime järgi - "Pi". Ärge sattuge segadusse...

Nüüd on üsna mõttekas kirjutada ligikaudne võrdsus:

Või täpne võrdsus:

Määrake, mitu kraadi on ühes radiaanis. Kuidas? Lihtsalt! Kui 3,14 radiaanis on 180 kraadi, siis 1 radiaan on 3,14 korda vähem! See tähendab, et jagame esimese võrrandi (valem on ka võrrand!) 3,14-ga:

Seda suhet on kasulik meeles pidada. Ühes radiaanis on ligikaudu 60°. Trigonomeetrias tuleb sageli välja mõelda, olukorda hinnata. Siin aitavad teadmised palju.

Kuid selle teema põhioskus on kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi.

Kui nurk on antud radiaanides numbriga "pi", on kõik väga lihtne. Teame, et "pi" radiaanid = 180°. Seega asendame "Pi" radiaanid - 180 °. Me saame nurga kraadides. Vähendame vähendatut ja vastus ongi valmis. Näiteks peame välja selgitama, kui palju kraadid nurgas "Pi"/2 radiaan? Siin me kirjutame:

Või eksootilisem väljend:

Lihtne, eks?

Pöördtõlge on veidi keerulisem. Aga mitte palju. Kui nurk on antud kraadides, peame välja selgitama, milline on üks kraad radiaanides, ja korrutama selle arvu kraadide arvuga. Mis on 1° radiaanides?

Vaatame valemit ja mõistame, et kui 180° = "Pi" radiaanid, siis 1° on 180 korda väiksem. Ehk siis jagame võrrandi (valem on ka võrrand!) 180-ga. "Pi" pole vaja esitada kui 3,14, see kirjutatakse niikuinii alati tähega. Saame, et üks kraad on võrdne:

See on kõik. Nurga radiaanides saamiseks korrutage kraadide arv selle väärtusega. Näiteks:

Või sarnaselt:

Nagu näete, selgus rahulikus vestluses lüüriliste kõrvalekalletega, et radiaanid on väga lihtsad. Jah, ja tõlge on probleemideta ... Ja "Pi" on täiesti talutav asi ... Kust siis segadus !?

Ma avaldan saladuse. Fakt on see, et trigonomeetrilistes funktsioonides kirjutatakse kraadide ikoon. On alati. Näiteks sin35°. See on siinus 35 kraadid . Ja radiaaniikoon ( rõõmus) pole kirjutatud! Ta on vihjatud. Kas haaras matemaatikute laiskus või midagi muud ... Kuid nad otsustasid mitte kirjutada. Kui siinuse sees pole ikoone - kotangent, siis nurk - radiaanides ! Näiteks cos3 on kolme koosinus radiaanid .

See toob kaasa arusaamatusi ... Inimene näeb "Pi" ja usub, et see on 180 °. Igal ajal ja igal pool. Muide, see töötab. Esialgu, samas kui näited on standardsed. Aga Pi on number! Arv 3,14 ei ole kraadid! See on "Pi" radiaanid = 180°!

Veel kord: "Pi" on arv! 3.14. Irratsionaalne, aga arv. Sama nagu 5 või 8. Näiteks võite teha umbes "Pi" samme. Kolm sammu ja natuke rohkem. Või osta "Pi" kilogrammi maiustusi. Kui haritud müüja vahele jääb...

"Pi" on arv! Mis, ma sain sulle selle fraasiga aru? Kas olete juba kõigest aru saanud? OKEI. Kontrollime. Kas oskate öelda, milline number on suurem?

Või mis on vähem?

See pärineb reast veidi ebastandardsetest küsimustest, mis võivad uimaseks ajada ...

Kui ka sina jäid stuuporisse, pidage meeles loitsu: "Pi" on arv! 3.14. Esimeses siinuses on selgelt näidatud, et nurk - kraadides! Seetõttu on võimatu "Pi" asendada 180 ° võrra! "Pi" kraadi on umbes 3,14 kraadi. Seetõttu võime kirjutada:

Teises siinuses pole sümboleid. Nii et seal - radiaanid! Siin töötab "Pi" asendamine 180 ° -ga üsna hästi. Teisendades radiaanid kraadideks, nagu ülalpool kirjutatud, saame:

Jääb üle neid kahte siinust võrrelda. Mida. unustasid kuidas? Muidugi trigonomeetrilise ringi abil! Joonistame ringi, joonistame ligikaudsed nurgad 60° ja 1,05°. Vaatame nende nurkade siinusi. Ühesõnaga, kõik, nagu trigonomeetrilise ringi teema lõpus, on maalitud. Ringil (isegi kõveral!) on see selgelt näha sin60° oluliselt rohkem kui sin1,05°.

Täpselt sama teeme koosinustega. Ringile joonistame nurgad umbes 4 kraadid ja 4 radiaan(pidage meeles, mis on ligikaudu 1 radiaan?). Ring ütleb kõik! Muidugi on cos4 väiksem kui cos4°.

Harjutame nurgamõõtmiste käsitsemist.

Teisendage need nurgad kraadidest radiaanideks:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

Need väärtused peaksid olema radiaanides (teises järjekorras!)

0

Muide, vastused olen spetsiaalselt kahele reale välja märkinud. Noh, mõtleme välja, millised nurgad on esimesel real? Kas kraadides või radiaanides?

Jah! Need on koordinaatsüsteemi teljed! Kui vaadata trigonomeetrilist ringi, siis nende väärtuste juures nurga liikuvat külge sobib otse teljele. Neid väärtusi tuleb irooniliselt teada. Ja ma märkisin nurga 0 kraadi (0 radiaani) mitte asjata. Ja siis mõned ei leia seda nurka ringil kuidagi üles ... Ja vastavalt sellele lähevad nad segadusse nulli trigonomeetrilistes funktsioonides ... Teine asi on see, et liikuva külje asukoht null kraadi juures ühtib positsiooniga 360 °, nii et kokkusattumused ringil on kogu aeg kõrval.

Teisel real on ka erinurgad... Need on 30°, 45° ja 60°. Ja mis on neis nii erilist? Ei midagi erilist. Ainus erinevus nende nurkade ja kõigi teiste vahel on see, et peaksite nende nurkade kohta teadma. kõik. Ja kus need asuvad ja millised on nende nurkade trigonomeetrilised funktsioonid. Ütleme väärtus sin100° sa ei pea teadma. AGA sin45°- palun olge lahke! Need on kohustuslikud teadmised, ilma milleta pole trigonomeetrias midagi peale hakata... Aga sellest lähemalt järgmises tunnis.

Seni jätkame harjutamist. Teisendage need nurgad radiaanidest kraadideks:

Peaksite saama sellised tulemused (segaduses):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

Juhtus? Siis võime seda eeldada kraadide teisendamine radiaanideks ja vastupidi- pole enam teie probleem.) Kuid nurkade tõlkimine on esimene samm trigonomeetria mõistmiseks. Samas kohas tuleb veel töötada siinuste-koosinustega. Jah, ja puutujatega, ka kotangentidega ...

Teine võimas samm on võime määrata mis tahes nurga asukohta trigonomeetrilisel ringil. Nii kraadides kui radiaanides. Selle oskuse kohta vihjan teile igavalt kogu trigonomeetrias, jah ...) Kui teate kõike (või arvate, et teate kõike) trigonomeetrilisest ringist ja nurkade loendamisest trigonomeetrilisel ringil, saate seda kontrollida välja. Lahendage need lihtsad ülesanded:

1. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

45°, 175°, 355°, 91°, 355°?

Kergesti? Jätkame:

2. Millisesse veerandisse langevad nurgad:

402°, 535°, 3000°, -45°, -325°, -3000°?

Samuti pole probleemi? No vaata...)

3. Võite paigutada nurgad neljandikku:

Kas sa suutsid? Noh, sa annad ..)

4. Millistele telgedele nurk langeb:

ja nurk:

Kas see on ka lihtne? Hm...)

5. Millisesse veerandisse nurgad langevad:

Ja see töötas!? No siis ma tõesti ei tea...)

6. Määrake, millisesse veerandisse nurgad langevad:

1, 2, 3 ja 20 radiaani.

Annan vastuse ainult viimase ülesande viimasele küsimusele (see on veidi keeruline). Esimesse kvartalisse langeb nurk 20 radiaani.

Ülejäänud vastuseid ma ahnusest ei anna.) Lihtsalt kui sa ei otsustanud midagi kahtlema selle tulemusena või kulutatud ülesandele nr 4 rohkem kui 10 sekundit oled ringis halvasti orienteeritud. See on teie probleem kogu trigonomeetrias. Parem on sellest (probleemist, mitte trigonomeetriast!) kohe lahti saada. Seda saab teha teemas: Praktiline töö trigonomeetrilise ringiga lõigus 555.

See räägib, kuidas selliseid ülesandeid lihtsalt ja õigesti lahendada. No need ülesanded on muidugi lahendatud. Ja neljas ülesanne lahendati 10 sekundiga. Jah, nii otsustasin, et igaüks saab!

Kui olete oma vastustes täiesti kindel ja teid ei huvita lihtsad ja tõrgeteta radiaaniga töötamise viisid, ei saa te külastada numbrit 555. Ma ei nõua.)

Hea arusaam on piisavalt hea põhjus edasi liikuda!)

Kui teile meeldib see sait...

Muide, mul on teie jaoks veel paar huvitavat saiti.)

Saab harjutada näidete lahendamist ja teada saada oma taset. Testimine kiirkinnitusega. Õppimine - huviga!)

saate tutvuda funktsioonide ja tuletistega.

(pi / 4) kolmel viisil.

Esimene.
Seda meetodit kasutatakse kõige sagedamini koolis trigonomeetriliste võrrandite lahendamisel. See seisneb selles, et kasutatakse , mis sisaldab nelja trigonomeetrilise funktsiooni väärtusi kõige tavalisematest argumentidest.

Selliseid tabeleid on mitmes versioonis. Need erinevad selle poolest, et nurkade väärtused on esitatud kraadides, radiaanides või nii kraadides kui ka radiaanides (mis on kõige mugavam).
Tabelist leiame nurga (antud juhul pi / 4) ja soovitud funktsiooni (vajame koosinusfunktsiooni) ning nende väärtuste ristumiskohas saame 2/2 juure.
Matemaatiliselt on see kirjutatud nii:

Teiseks.
Samuti levinud viis, mida saab alati kasutada, kui tabelit pole. See seisneb (või trigonomeetrilise ringi) kasutamises.


Sellisel trigonomeetrilisel ringil asuvad koosinusväärtused horisontaalteljel - abstsissteljel ja argumendid - ringi enda kõveral.
Meie puhul on koosinuse argument pi / 4. Teeme kindlaks, kus see väärtus ringil asub. Järgmisena langetame risti x-teljega. Väärtus, milles selle risti lõpp on, on antud koosinuse väärtus. Seetõttu on pi / 4 koosinus 2 / 2 ruutjuur.

Kolmandaks.
Mugav on kasutada ka vastava funktsiooni graafikut - . Lihtne on meeles pidada, kuidas see välja näeb.


Graafi kasutamisel on vaja mõningaid teadmisi, et määrata koosinuse pi / 4 väärtust, mis on . Sel juhul peate mõistma, et murdosa väärtus on suurem kui 0,5 ja väiksem kui 1.
Muidugi on veel mitmeid viise. Näiteks koosinuse väärtuse arvutamine kalkulaatori abil. Kuid selleks peate esmalt teisendama nurga pi / 4 kraadideks. Kasulikud võivad olla ka Bradise tabelid.

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel koostatud nurkade 0, 30, 45, 60, 90, 180, 270 ja 360 jaoks kraadid ja nende vastavad nurgad sisse radiaanid. Alates trigonomeetrilised funktsioonid tabel näitab siinus, koosinus, puutuja, kootangens, sekant ja kosekant. Väärtuse koolinäidete lahendamise mugavuse huvides trigonomeetrilised funktsioonid tabelis on kirjutatud murdosana, säilitades arvude ruutjuure eraldamise märgid, mis aitab väga sageli vähendada keerulisi matemaatilisi avaldisi. Sest puutuja ja kotangent mõnda nurki ei saa määrata. Väärtuste pärast puutuja ja kotangent sellised nurgad trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis on kriips. See on üldiselt aktsepteeritud puutuja ja kotangent sellised nurgad võrdub lõpmatusega. Eraldi lehel on trigonomeetriliste funktsioonide vähendamise valemid.

Trigonomeetrilise funktsiooni siinuse väärtuste tabel näitab väärtusi järgmiste nurkade jaoks: sin 0, sin 30, sin 45, sin 60, sin 90, sin 180, sin 270, sin 360 kraadi mõõtes , mis vastab sin 0 pi, sin pi / 6 , sin pi / 4, sin pi / 3, sin pi / 2, sin pi, sin 3 pi / 2, sin 2 pi nurkade radiaanis. Kooli siinuste tabel.

Trigonomeetrilise koosinusfunktsiooni jaoks on tabelis näidatud järgmiste nurkade väärtused: cos 0, cos 30, cos 45, cos 60, cos 90, cos 180, cos 270, cos 360 kraadi mõõtes, mis vastab cos 0 pi, cos pi kuni 6, cos pi 4, cos pi 3, cos pi 2, cos pi, cos 3 pi 2, cos 2 pi nurkade radiaanis. Kooli koosinuste tabel.

Trigonomeetrilise funktsiooni puutuja trigonomeetriline tabel annab väärtused järgmiste nurkade jaoks: tg 0, tg 30, tg 45, tg 60, tg 180, tg 360 kraadimõõtudes, mis vastab tg 0 pi, tg pi / 6, tg pi / 4, tg pi/3, tg pi, tg 2 pi nurkade radiaanis. Järgmised puutuja trigonomeetriliste funktsioonide väärtused ei ole defineeritud tg 90, tg 270, tg pi/2, tg 3 pi/2 ja neid loetakse võrdseks lõpmatusega.

Trigonomeetrilises tabelis oleva trigonomeetrilise funktsiooni kotangensi jaoks on antud järgmiste nurkade väärtused: ctg 30, ctg 45, ctg 60, ctg 90, ctg 270 kraadimõõtes, mis vastab ctg pi / 6, ctg pi / 4, ctg pi / 3, tg pi / 2, tg 3 pi/2 nurkade radiaanis. Trigonomeetriliste kotangentsete funktsioonide järgmisi väärtusi ei määratleta ctg 0, ctg 180, ctg 360, ctg 0 pi, ctg pi, ctg 2 pi ja neid loetakse võrdseks lõpmatusega.

Trigonomeetriliste funktsioonide sekant ja kosekant väärtused on antud samade nurkade jaoks kraadides ja radiaanides nagu siinus, koosinus, puutuja, kotangens.

Mittestandardsete nurkade trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel näitab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtusi nurkade jaoks kraadides 15, 18, 22,5, 36, 54, 67,5 72 kraadi ja radiaanides pi/12 , pi/10, pi/ 8, pi/5, 3pi/8, 2pi/5 radiaani. Trigonomeetriliste funktsioonide väärtused on väljendatud murdude ja ruutjuurtena, et lihtsustada murdude vähendamist koolinäidetes.

Veel kolm trigonomeetria koletist. Esimene on puutuja 1,5 kraadi ja pool ehk pi jagatud 120-ga. Teine on pi koosinus jagatud 240-ga, pi/240. Pikim on pi koosinus jagatud 17-ga, pi/17.

Siinus- ja koosinusfunktsioonide väärtuste trigonomeetriline ring kujutab visuaalselt siinuse ja koosinuse märke sõltuvalt nurga suurusest. Eriti blondide puhul on koosinusväärtused rohelise kriipsuga alla joonitud, et neid vähem segadusse ajada. Väga selgelt on välja toodud ka kraadide teisendamine radiaanideks, kui radiaane väljendatakse pi kaudu.

See trigonomeetriline tabel esitab siinuse, koosinuse, puutuja ja kotangensi väärtused nurkade 0 null kuni 90 üheksakümmend kraadi jaoks ühe kraadiste intervallidega. Esimese neljakümne viie kraadi puhul tuleb vaadata trigonomeetriliste funktsioonide nimetusi tabeli ülaosas. Esimene veerg sisaldab kraadi, siinuste, koosinuste, puutujate ja kotangentide väärtused on kirjutatud järgmisesse nelja veergu.

Nurkade puhul nelikümmend viis kraadi kuni üheksakümmend kraadi on trigonomeetriliste funktsioonide nimed kirjutatud tabeli allossa. Viimane veerg sisaldab kraadi, koosinuste, siinuste, kotangentide ja puutujate väärtused on kirjutatud eelmises neljas veerus. Tasub olla ettevaatlik, sest trigonomeetriliste funktsioonide nimed trigonomeetrilise tabeli alumises osas erinevad tabeli ülemises osas olevatest nimedest. Siinused ja koosinused on vahetatud, nagu puutuja ja kotangens. See on tingitud trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste sümmeetriast.

Trigonomeetriliste funktsioonide märgid on näidatud ülaltoodud joonisel. Siinusel on positiivsed väärtused 0 kuni 180 kraadi või 0 kuni pi. Siinuse negatiivsed väärtused on 180 kuni 360 kraadi või pi kuni 2 pi. Koosinusväärtused on positiivsed vahemikus 0 kuni 90 ja 270 kuni 360 kraadi või 0 kuni 1/2 pi ja 3/2 kuni 2 pi. Puutuja ja kotangensi positiivsed väärtused on 0 kuni 90 kraadi ja 180 kuni 270 kraadi, mis vastavad väärtustele 0 kuni 1/2 pi ja pi kuni 3/2 pi. Negatiivne puutuja ja kotangens on 90 kuni 180 kraadi ja 270 kuni 360 kraadi või 1/2 pi kuni pi ja 3/2 pi kuni 2 pi. Trigonomeetriliste funktsioonide märkide määramisel nurkadele, mis on suuremad kui 360 kraadi või 2 pi, tuleks kasutada nende funktsioonide perioodilisuse omadusi.

Trigonomeetrilised funktsioonid siinus, puutuja ja kotangens on paaritu funktsioonid. Nende funktsioonide väärtused negatiivsete nurkade jaoks on negatiivsed. Koosinus on ühtlane trigonomeetriline funktsioon – negatiivse nurga koosinusväärtus on positiivne. Trigonomeetriliste funktsioonide korrutamisel ja jagamisel tuleb järgida märkide reegleid.

Kui palju pi on 2/2 juur?- See juhtub erineval viisil (vt pilti). Peate teadma, milline trigonomeetriline funktsioon võrdub kahe juurega, mis on jagatud kahega.

Kui teile postitus meeldis ja soovite rohkem teada saada, siis tegelen teiste materjalidega.

cos pi jagatud 2-ga

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Matemaatilised valemid.

Teisenda radiaanid kraadideks.
A d = A r * 180 / pi

Teisenda kraadid radiaanideks.
A r = A d * pi / 180
Kus A d on nurk kraadides, A r on nurk radiaanides.

Ümbermõõt.
L = 2 * pi * R

Ringjoone kaare pikkus.
L=A*R

Kolmnurga pindala.

p=(a+b+c)/2 – poolperimeeter.

Ringi pindala.
S = pi * R 2

Sektori piirkond.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2

Kera pindala.
S = 4 * pi * R 2

S = 2 * Pi * R * H

Kus S on silindri külgpinna pindala, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

S = pi * R * L

S = pi * R * L + pi * R 2

Palli maht.
V = 4/3 * pi * R 3

Silindri maht.
V = pi * R 2 * H

Koonuse maht.

Postitatud: 15.01.13
Värskendatud: 15.11.2014
Vaatamisi kokku: 10754
täna: 1

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Egor

Tere õhtust! Esitasite väga huvitava küsimuse, loodan, et saame teid aidata.

Kuidas lahendada C1. 2. õppetund

Sina ja mina peame lahendama järgmise probleemi: leidke cos pi jagatud 2-ga.
Kõige sagedamini on selliste probleemide lahendamiseks vaja määrata koosinus- või siinusindikaatorid. Nurkade puhul 0 kuni 360 kraadi on peaaegu kõik cos või sin väärtused hõlpsasti leitavad vastavatelt ja levinud plaatidelt, näiteks järgmistelt:

Kuid meil ei ole siinus (patt), vaid koosinus. Kõigepealt mõistame, mis on koosinus. Cos (koosinus) on üks trigonomeetrilistest funktsioonidest. Terava täisnurkse kolmnurga koosinuse arvutamiseks peate teadma kaasatud nurga jala ja hüpotenuusi suhet. Pi koosinust jagatud 2-ga saab hõlpsasti arvutada trigonomeetrilise valemi abil, mis kuulub standardsete trigonomeetria valemite hulka. Aga kui me räägime koosinus pi väärtusest, mis on jagatud 2-ga, siis kasutame selleks tabelit, mida oleme juba korduvalt maininud:

Edu teile edaspidistes sellistes ettevõtmistes!
Vastus:

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Matemaatilised valemid.

Teisenda radiaanid kraadideks.
A d = A r * 180 / pi

Teisenda kraadid radiaanideks.
A r = A d * pi / 180
Kus A d on nurk kraadides, A r on nurk radiaanides.

Ümbermõõt.
L = 2 * pi * R
Kus L on ümbermõõt, R on ringi raadius.

Ringjoone kaare pikkus.
L=A*R
kus L on ringi kaare pikkus, R on ringi raadius, A on kesknurk radiaanides
Ringi A = 2*pi (360 kraadi) korral saame L = 2*pi*R.

Kolmnurga pindala.
S = (p * (p-a) * (p-b) * (p-c)) 1/2
kus S on kolmnurga pindala, a, b, c on külgede pikkused,
p=(a+b+c)/2 – poolperimeeter.

Ringi pindala.
S = pi * R 2
Kus S on ringi pindala, R on ringi raadius.

Sektori piirkond.
S \u003d L d * R / 2 \u003d (A * R 2) / 2
Kus S on sektori pindala, R on ringi raadius, L d on kaare pikkus.

Kera pindala.
S = 4 * pi * R 2
Kus S on kuuli pindala, R on kuuli raadius.

Silindri külgpinna pindala.
S = 2 * Pi * R * H
Kus S on silindri külgpinna pindala, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

Silindri kogupindala.
S = 2 * pi * R * H + 2 * pi * R 2
Kus S on silindri külgpinna pindala, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

Koonuse külgpinna pindala.
S = pi * R * L
Kus S on koonuse külgpinna pindala, R on koonuse aluse raadius, L on koonuse generaatori pikkus.

Koonuse kogupindala.
S = pi * R * L + pi * R 2
Kus S on koonuse täispinna pindala, R on koonuse aluse raadius, L on koonuse generaatori pikkus.

Palli maht.
V = 4/3 * pi * R 3
Kus V on kuuli ruumala, siis R on kuuli raadius.

Silindri maht.
V = pi * R 2 * H
Kus V on silindri maht, R on silindri põhja raadius, H on silindri kõrgus.

Koonuse maht.
V = pi * R * L = pi * R * H/cos (A/2) = pi * R * R/sin (A/2)
Kus V on koonuse ruumala, R on koonuse aluse raadius, L on koonuse generaatori pikkus, A on nurk koonuse tipus.

Postitatud: 15.01.13
Värskendatud: 15.11.2014
Vaatamisi kokku: 10742
täna: 1

Avaleht > Kataloog > Matemaatilised valemid.

Egor
Krona aku klemmidele saate juhtme kinnitada meditsiinilise nõela korgist ära lõigatud toruga.

Trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel

Märge. See trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabel kasutab ruutjuure tähistamiseks märki √. Murru tähistamiseks - sümbol "/".

Vaata ka kasulikud materjalid:

Sest trigonomeetrilise funktsiooni väärtuse määramine, leidke see trigonomeetrilist funktsiooni tähistava joone ristumiskohast. Näiteks siinus 30 kraadi - otsime veergu pealkirjaga sin (siinus) ja leiame tabeli selle veeru ristumiskoha joonega "30 kraadi", nende ristumiskohas loeme tulemust - üks teiseks. Samamoodi leiame koosinus 60 kraadid, siinus 60 kraadid (taaskord sin (siinuse) veeru ja 60 kraadise rea ristumiskohalt leiame väärtuse sin 60 = √3/2) jne. Samamoodi leitakse teiste "populaarsete" nurkade siinuste, koosinuste ja puutujate väärtused.

Pi siinus, pi koosinus, pi tangens ja muud nurgad radiaanides

Allolev koosinuste, siinuste ja puutujate tabel sobib ka trigonomeetriliste funktsioonide väärtuse leidmiseks, mille argument on antud radiaanides. Selleks kasutage nurga väärtuste teist veergu. Tänu sellele saate populaarsete nurkade väärtused kraadidest radiaanidesse teisendada. Näiteks leiame esimesel real 60 kraadise nurga ja loeme selle alt selle väärtuse radiaanides. 60 kraadi on võrdne π/3 radiaaniga.

Arv pi väljendab üheselt ringi ümbermõõdu sõltuvust nurga astmest. Seega võrdub pi radiaanid 180 kraadiga.

Iga pi (radiaanis) väljendatud arvu saab hõlpsasti teisendada kraadideks, asendades arvu pi (π) 180-ga.

Näited:
1. siinus pi.
sin π = sin 180 = 0
seega on pi siinus sama mis siinus 180 kraadi ja võrdub nulliga.

2. koosinus pi.
cos π = cos 180 = -1
seega on pi koosinus sama, mis 180 kraadi koosinus ja on võrdne miinus ühega.

3. Tangent pi
tg π = tg 180 = 0
seega on pi puutuja sama, mis 180 kraadi puutuja ja on võrdne nulliga.

Siinus-, koosinus- ja puutuja väärtuste tabel nurkade jaoks 0 - 360 kraadi (sagedased väärtused)

nurk α (kraadi)	nurk α radiaanides (pi kaudu)	patt (siinus)	cos (koosinus)	tg (puutuja)	ctg (kootangens)	sek (sekant)	põhjus (kosekant)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Kui trigonomeetriliste funktsioonide väärtuste tabelis on funktsiooni väärtuse asemel näidatud kriips (puutuja (tg) 90 kraadi, kotangens (ctg) 180 kraadi), siis antud väärtuse korral on astme mõõt nurk, funktsioonil ei ole kindlat väärtust. Kui kriips puudub, on lahter tühi, seega pole me veel soovitud väärtust sisestanud. Oleme huvitatud sellest, milliste taotlustega kasutajad meie poole pöörduvad ja täiendame tabelit uute väärtustega, hoolimata asjaolust, et praegused andmed kõige levinumate nurgaväärtuste koosinuste, siinuste ja puutujate väärtuste kohta on enamiku lahendamiseks piisavad. probleeme.

Trigonomeetriliste funktsioonide sin, cos, tg väärtuste tabel kõige populaarsemate nurkade jaoks
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 kraadi
(arvulised väärtused "Bradise tabelite järgi")

nurga väärtus α (kraadi)	nurga α väärtus radiaanides	patt (siinus)	cos (koosinus)	tg (puutuja)	ctg (kotangent)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18